1. 矩阵介绍

矩阵（matrix）是数字或字符的矩形网格（如 excel 表格），并具有加、减、乘等运算规则。

从数学的角度来看，对于 m x n 矩阵的形式，可以用计算机中的二维数组来表示。基本上，许多矩阵的运算与应用都可以使用计算机中的二维数组解决。

矩阵维度

我们用 (行数 x 列数) 来描述矩阵的维度。

2. 矩阵相加

矩阵的相加运算较为简单，前提是相加的两个矩阵对应的行数与列数必须相等，而相加后矩阵的行数与列数也是相同的。

示例代码

1 A = [[1,2,3], [1,2,3], [1,2,3]] 2 B = [[1,2,3], [1,2,3], [1,2,3]] 3 N = 3 4 # 用于存放相加结果的矩阵 5 C = [[None]*N for i in range(N)] 6  7 for i in range(N): 8     for j in range(N): 9         C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]  # 矩阵C = 矩阵A + 矩阵B10 print("矩阵A和矩阵B的相加结果：")11 for i in range(N):12     for j in range(N):13         print(C[i][j], end="\t")14     print()

执行结果：

矩阵A和矩阵B的相加结果：2       4       62       4       62       4       6

3. 矩阵相乘

并不是所有的矩阵都能进行乘法运算的。并且，对输出矩阵的维度也存在要求。

矩阵一的列数必须等于矩阵二的行数，如 M×N 矩阵和 N×K 矩阵相乘的结果是 M×K 矩阵（新矩阵取矩阵一的行和矩阵二的列）。

实现原理

矩阵乘法依赖于点积与行列元素的各种组合。以下图为例，矩阵 C 中的每个元素都是矩阵 A 的行与矩阵 B 的列的点积。

操作 a1·b1 表示我们取矩阵 A 中第 1 行 (1,7) 和矩阵 B 中第 1 列 (3,5) 的点积：

即：

为什么矩阵乘法以这种方式工作？

矩阵的乘法运算非常有用，但背后并没有太深奥的数学规律。之所以数学家发明了这种运算，完全是因为它简化了以前乏味的计算。这是一个人为的产物，但却非常有效。

示例代码

1 # 矩阵相乘函数 2 def matrix_multiply(matrix1, matrix2): 3         # 初始化所需的维度 4     m = len(matrix1)  # matrix1的行数 5     n = len(matrix1[0])  # matrix1的列数 即 matrix2的行数 6     p = len(matrix2[0])  # matrix2的列数 7  8     # 初始化结果矩阵 = matrix1的行数 x matrix2的列数 9     result_matrix = [[None]*p for i in range(m)]10 11     for row_no in range(m):12         for col_no in range(p):13             tmp = 014             for k in range(n):15                 tmp = tmp + matrix1[row_no][k] * matrix2[k][col_no]16             result_matrix[row_no][col_no] = tmp17     return result_matrix18 19 20 A = [[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]]21 B = [[1,2], [3,4], [5,6]]22 23 result_matrix = matrix_multiply(A, B)24 25 print("矩阵相乘结果：")26 for i in range(len(result_matrix)):27     for j in range(len(result_matrix[0])):28         print(result_matrix[i][j], end="\t")29     print()

执行结果：

矩阵相乘结果：22      2849      6476      100

4. 矩阵转置

转置矩阵（A^T）就是把原矩阵的行坐标元素与列坐标元素相互调换。假设 A^T为 A 的转置矩阵，则有 A^T[j, i] = A[i, j]。

转置矩阵有两个步骤：

矩阵旋转 90°

反转每行元素的顺序（例如 [a b c] 变为 [c b a]）

例如，将矩阵 M 转置为 T：

示例代码

1 # 转置矩阵函数 2 def matrix_t(matrix): 3     result_matrix = [[None]*len(matrix) for i in range(len(matrix[0]))] 4     for i in range(len(matrix)): 5         for j in range(len(matrix[0])): 6             result_matrix[j][i] = matrix[i][j] 7     return result_matrix 8  9 10 A = [[1,2], [3,4], [5,6]]11 12 result_matrix = matrix_t(A)13 print("矩阵转置结果：")14 for i in result_matrix:15     for j in i:16         print(j, end="\t")17     print()

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